De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat

vragen bekijken

een vraag stellen

hulpjes

zoeken

FAQ

links

twitter

boeken

help

inloggen

colofon

Reageren...

Re: 1e graads vergelijkingen

Goed, ik maak mijn profielwerkstuk over regelmatige veelhoeken . Mijn leraar heeft mij gevraagd uit te zoeken waarom bijvoorbeeld een regelmatige 7-hoek niet construeerbaar is met passer en liniaal en hij heeft mij daarbij op de galoistheorie gewezen.

Ik snap al dat je de punten van een regelmatige veelhoek, bijvoorbeeld een 3-hoek kan vinden in een complexe eenheidscirkel door de vergelijking x³=1 op te lossen. x⁴=1 lukt ook nog wel en x ⁷ = 1 is dus degene die ik moet bewijzen. Kunnen jullie mij op weg helpen?

Antwoord

Je moet laten zien dat de volgende oplossing van x⁷=1 niet met passer en liniaal te maken is: cos(2p/7)+isin(2p/7). Dat doe je door zijn zogenaamde minimale polynoom te bepalen; als de graad daarvan niet een macht van 2 is volgt dat dat punt/getal niet construeerbaar is.
Dat minimale polynoom is het polynoom van kleinste graad en met rationale coefficienten waar je getal nog een nulpunt van is. Omdat x⁷-1 = (x-1)(x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1) moet je laten zien dat de tweede factor niet te ontbinden is als (x²+ax+b)(x⁴+cx³+dx²+ex+f) met a, b, c, d, e, f rationaal; dat kost wat moeite maar met een beetje volhouden kom je er wel.
Hieronder staat een link naar een verhaal over de driedeling van de hoek.

Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!

Reactie:
	Klik eerst in het tekstvlak voordat je deze knopjes en tekens gebruikt. Pas op: onderstaande knopjes en speciale karakters werken niet bij ALLE browsers! áâæàåãäßçéêèëíîìïñóôòøõöúûùüýÿ½¼¾€£®© $\forall$$\exists$$\neg$$\wedge$$\vee$$\Leftrightarrow$$\Leftarrow$$\Rightarrow$$\emptyset$$\cap$$\cup$$\supset$$\supseteq$$\not\subset$$\subset$$\subseteq$$\in$$\notin$ $\sim$$\equiv$$\ne$$\pm$$\times$$\div$$\otimes$$\oplus$$\pi$$\leftarrow$$\uparrow$$\to$$\downarrow$ $\sqrt{}$$\sum$$\prod$$\infty$$\smallint$$\Delta$$\nabla$$\partial$$\angle$$\bot$$\cong$$\widehat p$ $\alpha$$\beta$$\gamma$$\delta$$\varepsilon$$\phi$$\theta$$\lambda$$\mu$$\rho$$\sigma$$\tau$$\omega$$\chi$$\Gamma$$\vartheta$$\Lambda$$\Omega$$\Psi$$\zeta$ $\mathbf{N}$ $\mathbf{Z}$ $\mathbf{Q}$ $\mathbf{R}$ $\mathbf{C}$
Categorie:	Vergelijkingen
Ik ben:	-------------- Maak een keuze --------------- Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo Leerling bovenbouw vmbo Leerling bovenbouw havo-vwo Leerling mbo Student hbo Student universiteit 1ste graad ASO-TSO-BSO Overige TSO-BSO 2de graad ASO 3de graad ASO Student Hoger Onderwijs België Student universiteit België Cursist vavo Docent Ouder Iets anders Beantwoorder
Naam:
Emailadres:
Datum:	18-5-2024